فلسفه و تاریخ علم

ریاضیات در برزخ فلسفه

ریاضیات برزخ فلسفه علمنا
نوشته شده توسط عرفان کسرایی

دنیای ریاضیات به مراتب گسترده تر از دنیای اعداد و محاسبات است. گویی مفاهیم ریاضی در یک برزخ فلسفی گرفتارند و یا نمودی از کدهای پنهان شده در ساختار جهان هستند. اینکه ماهیت ریاضیات چیست و چرا ریاضیات همیشه درست از آب در می آید و اساسا اینکه معادلات ریاضی از چه چیزی صحبت می کنند هنوز مشخص نیست. عموما ۳ رویکرد اصلی دربارهء ماهیت فلسفی ریاضیات وجود دارد.
۱. اصالت منطق logicism
۲. شهودگرایی intuitionism
۳. صورت گرایی formalism

رویکرد اول اصالت منطق یا همان logicism است که ریاضیدانانی مانند فرگه و راسل و وایتهد از آن دفاع می کردند. به عقیده فرگه و راسل و وایتهد؛ ریاضیات شاخه ای از منطق است و می توان همه مفاهیم ریاضی را بر اساس مفاهیم منطقی بازنویسی کرد و همهء قضایای ریاضی را نیز در قالب قضایای منطقی صورتبندی کرد.
دومین رویکرد که ریاضیدانانی مانند کرونکر؛ بروئر و پوانکاره از آن حمایت می کردند؛ شهودگرایی intuitionism نام دارد که بر طبق آن ریاضیات را باید بر مبنای روش های کانستراکتیو construvctive   یا گامهای متناهی که در مورد رشته اعداد طبیعی اعمال می شود پایه ریزی کرد. این ریاضیدانان معتقدند که در اساس تمامی ساختار ریاضیات؛ یک سنخ شهود بنیادین وجود دارد و راهی باید باشد تا بتوان همهء هویات ریاضی را با طی گام های متناهی بنا کرد. از نظر شهودگرایان براهینی که در آن از مجموعه های بی نهایت استفاده می شود معتبر نیستند. کرونکر همان ریاضیدانی است که با گئورگ کانتور اختلاف نظر فراوان داشت. گئورگ کانتور در سال ۱۸۳۷ نشان داده بود که سلسله اعداد گویا یک بینهایت شمارپذیر را تشکیل می دهد. بر مبنای همین اختلاف نظر کرونر تا سالها مانع از استخدام کانتور در دانشکده ریاضیات دانشگاه برلین شده بود. بروئر ریاضیدان هلندی بود و تحت تاثیر پارادوکس های منطقی منتشر شده در اوایل قرن بیستم و همچنین ایده گرفتن از کانت؛ معتقد بود که اعداد و دیگر هویات ریاضی ؛ وجود مستقل ندارند بلکه چیزهایی هستند که انسان آنها را ابداع کرده باشد.  پوانکاره فرانسوی اما صرفا ریاضیدان نبود. او در توپولوژی و فیزیک و کیهان شناسی تاثیرات فوق العاده ای برجای گذاشت. پوانکاره اعتقاد داشت آکسیوم های هندسه؛ نه تحلیلی هستند و نه آنگونه که کانت اعتقاد داشت تالیفی پیشینی و نه حتی آنطور که جان استوارت میل می گفت مبنای تجربی دارند. بنا بر نظر پوانکاره این آکسیومها قراردادی و اعتباری هستند.
بر اساس دیدگاه سوم که صورت گرایی formalism نام دارد و از طرف هیلبرت نمایندگی می شود ؛ ریاضیات صرفا با نظام های صوری از نمادها و علایم سر و کار دارد و طرفداران صورت گرایی به ریاضیات به چشم روابط میان این نمادها نگاه می کنند و هیچ محتوای انضمامی هم برای این نمادها قایل نیستند. هیلبرت ریاضیدان آلمانی بود که ۲۳ مساله اساسی در ریاضیات را مشخص کرده بود که دومین مساله از این تعداد مساله؛  درباره سازگاری ریاضیات بود  که در نهایت او را به ایده فرمال بودن و سیستمهای آکسیوماتیزه کشاند.
هر سه دیدگاه مذکور در دهه های اول قرن بیستم مطرح شده بودند و همگی به مرور زمان مورد نقدهای فراوان قرار گرفتند. مثلا پارادوکس مجموعه ها که راسل در سال ۱۹۰۱ طرح کرد ؛ پروژه اصالت منطق را به شکست کشاند.  گروه دوم یعنی شهودگرایان نیز به رغم تمام تلاش ها نتوانسته اند بخش های بزرگی از  ریاضیات را به زیر بال و پر دیدگاه خود در بیاورند. رویکرد سوم یعنی صورت گرایی یا همان فرمالیسم نیز با کشف جالب کرت گودل در سال ۱۹۳۱ به چالش کشیده شد. گودل نشان داده که در هر سیستم قیاسی فرمال که به قدر کافی غنی باشد (یعنی از نوع همان سیستم هایی که طرفداران صورت گرایی قصد ساختن آن را داشتند) نمی توان سازگاری سیستم را با روش هایی که به خود آن سیستم تعلق دارند  اثبات کرد. از این رو تا آنجایی که به تاریخ علم مربوط می شود؛ ماهیت فلسفی ریاضیات همچنان مناقشه برانگیز است و حقیقت پنهان در پس پردهء این دانش رازآلود هنوز بر انسان مکشوف نشده است. آیا ریاضیات صرفا ابزاری زبانی برای  توصیف واقعیت های جهان است؟ آیا معادلات ریاضی ؛ بازتابی بلاواسطه از رویدادهای جهان واقعی هستند؟ هنوز هیچ پاسخ قطعی و نهایی برای این پرسش در دست نداریم.

درباره نویسنده

عرفان کسرایی

کسرایی، عضو انجمن فلسفه علم آلمان و پژوهشگر مطالعات علم و فناوری در دانشگاه کاسل است
زمینه های پژوهشی او عبارتند از:
-فلسفه فیزیک؛ منطق مدلسازی در ریاضیات مهندسی
-ارتباطات علم و جامعه شناسی شبه علم در ایران
-تاریخ فیزیک مدرن در قرن بیستم

دیدگاه شما چیست