علوم پایه

قضیه گودل و نظریه همه‌چیز

قضیه گودل
نوشته شده توسط سرویس فیزیک علمنا

داوید هیلبرت، ریاضی‌دان آلمانی، در دهه ۱۹۲۰ میلادی به دنبال آن بود که کل ریاضیات آن زمان را بر پایه یک مجموعه متناهی متشکل از یک سری اصول موضوعه سازگار بنا کند. اصول موضوعه سازگار یعنی اصولی که منجر به هیچ تناقضی نمی‌شوند. تلاش‌های زیادی در این زمینه شد تا آنکه در سال ۱۹۳۱ ریاضی‌دانی به نام کورت گودل ثابت کرد که چنین کاری عملاً غیرممکن است. او دو قضیه را ثابت کرد که به قضایای نا تمامیت گودل معروف‌اند. این قضایا در منطق ریاضی و فلسفه ریاضی، از اهمیت بسزایی برخوردارند.
با ما در علمنا همراه باشید تا بیشتر دراین‌باره صحبت کنیم.

داوید هیلبرت
داوید هیلبرت

قضیه اول نا تمامیت گودل، بیان می‌کند که در هر نظام اصل موضوعی (نظریه) ریاضی تعدادی جملات (نتایج) «تصمیم ناپذیر» وجود دارند. بدین معنا که نه می‌توان آن‌ها را ثابت کرد و نه می‌توان آن‌ها را رد کرد.
قضیه دوم نا تمامیت گودل بیان می‌کند که اگر یک نظریه در ریاضیات داشته باشیم که قضایای اصلی حساب در آن اثبات شوند آنگاه این نظریه نمی‌تواند سازگاری خود را اثبات کند.
به زبان ساده، گودل ثابت کرد که ریاضیات بی‌پایان است و هیچ‌گاه نمی‌توانیم به انتهای ریاضیات برسیم و همیشه جملات «تصمیم ناپذیری» وجود دارند که هم می‌توان آن‌ها را قبول کرد و هم رد کرد؛ مانند اصل توازی اقلیدس که اگر آن را قبول کنیم به هندسه اقلیدسی می‌رسیم و اگر آن را قبول نکنیم به هندسه‌های نا اقلیدسی خواهیم رسید. این‌گونه گزاره‌ها امروزه در ریاضیات کم نیستند. یک مثال دیگر از قضیه‌های تصمیم ناپذیر، قضیه یا اصل موضوع انتخاب است.
با یک مثال ساده این مسئله را بیان می‌کنیم؛ فرض کنید وارد یک مغازه میوه‌فروشی می‌شوید. در مقابل شما تعدادی جعبه میوه وجود دارد. شما می‌توانید از هر جعبه یک میوه را انتخاب کنید و آن‌ها را در جعبه دیگر جمع‌آوری کنید. علی‌الاصول این کار امکان‌پذیر است؛ اما مسئله زمانی مشکل می‌شود که تعداد جعبه‌ها بین‌هایت شود. در آن صورت سؤال اینجا است که آیا می‌توان یک مجموعه نامتناهی ساخت که اعضای آن از تعداد نامتناهی مجموعه انتخاب‌شده‌اند؟
دلیل اینکه به راحتی نمی‌توان به این سؤال پاسخ داد این است که در این مسئله ما با بی‌نهایت عمل انتخاب مواجهیم، آیا می‌توانیم بی‌نهایت بار انتخاب کنیم؟!

گودل
کورت گودل

آلبرت انیشتین ، کورت گودل و جولیان شوینگر در سال 1951
آلبرت انیشتین ، کورت گودل و جولیان شوینگر در سال ۱۹۵۱

در اوایل قرن بیستم افرادی چون ارنست تسرملو تلاش کردند این مسئله را بر اساس اصول پیشین در نظریه مجموعه‌ها اثبات کنند، ولی این تلاش‌ها به نتیجه‌ای نرسید. تسرملو پس‌ازآنکه احساس کرد این مسئله حل ناشدنی است به این نتیجه رسید که باید آن را به عنوان اصل موضوع بپذیرد. این‌چنین بود که «اصل موضوعه انتخاب» در ریاضیات مطرح شد. این اصل موضوع با برخی از قضایای مهم در ریاضیات هم‌ارز است از جمله قضیه‌ای که بیان می‌کند هر فضای برداری یک پایه دارد (این قضیه یکی از پیش‌فرض‌های مکانیک کوآنتمی است).
در سال ۱۹۳۸ گودل نشان داد که اصل موضوع انتخاب، با دیگر اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها سازگار است و اضافه کردن آن به سایر اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها منجر به تناقضی نمی‌شود. در سال ۱۹۶۳ ریاضی‌دانی به نام پل کوهن ثابت کرد که این اصل موضوع مستقل از سایر اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها است و نمی‌توان آن را به عنوان یک قضیه به‌وسیله سایر اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها اثبات کرد. پس پذیرفتن آن، به عنوان یک اصل؛ منطقی به نظر می‌رسد؛ اما در ریاضیات، هیچ راهی برای اثبات یا رد این اصل وجود ندارد و نظریه مجموعه‌ها از عهده این کار برنمی‌آید.
همان‌طور که گفتیم گودل به ما نشان داد که ریاضیات خط پایانی ندارد. ولی در دنیای فیزیک داستان جور دیگری بود.
زمانی که نظریه مکانیک کوآنتمی در فیزیک مطرح شد، طرفداران مکتب کپنهاگی ادعا می‌کردند که مکانیک کوآنتمی آخر خط فیزیک است و نظریه‌ای کامل‌تر از آن وجود ندارد. بورن و هایزنبرگ در سال ۱۹۲۷ در یک مقاله ادعا کردند که مکانیک کوآنتمی یک نظریه کامل است و مفروضات اساسی فیزیک و ریاضی آن دیگر تغییر نخواهد کرد؛ و یا اینکه هایزنبرگ در همان دوران در نامه به بوهر می‌نویسد:

«من اکنون اعتقاددارم که مسائل بنیادی کاملاً حل‌شده است.»

این بود که اکثر فیزیک‌دانان به این باور رسیده بودند که مکانیک کوآنتمی حرف آخر است و هیچ خللی در خود ندارد و امکان ندارد روزی بتوان نظریه‌ای کامل‌تر از آن ارائه داد.
به همین خاطر فیزیکدانان به این نتیجه رسیدند که دانسته‌های کنونی ما از فیزیک می‌تواند تمام جهان را توصیف کند. حال اگر بتوان به روشی، همه نظریه‌های مطرح در فیزیک را یکپارچه کرد، به یک نظریه واحد می‌رسیم که با آن می‌توان همه عالم را توصیف کرد. «نظریه‌ای برای همه‌چیز» همانند کاری که هیلبرت، تصمیم داشت در ریاضیات انجام دهد.

بوهر و شرودینگر
بوهر و شرودینگر

از جمله شخصیت‌های بزرگ در فیزیک که طرفدار «نظریه همه‌چیز» بودند می‌توان به «استیون هاوکینگ» اشاره کرد. او در ابتدا معتقد بود که می‌توان به نظریه همه‌چیز رسید و در این زمینه تلاش‌های زیادی نمود اما بعدها تغییر عقیده داد. او در سال ۲۰۰۳ در نطقی بیان کرد:
«تا به حال مردم به طور ضمنی فرض کرده‌اند که یک نظریه نهایی هست که ما نهایتاً کشف خواهیم کرد. در واقع خود من پیشنهاد کرده‌ام که ما ممکن است به زودی آن را بیابیم؛ اما نظریه M (در فیزیک ذرات بنیادی) مرا نسبت به درست بودن این وضعیت به تردید انداخته است. ممکن است امکان نداشته باشد که نظریه (توصیف‌کننده) جهان را در تعداد محدودی گزاره تدوین کنیم. این یادآور قضیه گودل است…
اگر یک نظریه نهایی در کار نباشد بعضی مردم نومید می‌شوند، نظریه‌ای که بتواند به صورت تعداد محدودی اصول تدوین شود. من به این گروه متعلق بودم اما عقیده‌ام را تغییر داده‌ام. من اکنون خشنودم که جستجو برای شناخت (جهان) هرگز به پایان نخواهد رسید و ما همواره با چالش کشف جدید سروکار خواهیم داشت. بدونِ آن شکوفایی‌مان را از دست خواهیم داد. قضیه گودل تضمین می‌کند که همواره برای ریاضیدانان کار موجود خواهد بود. فکر می‌کنم نظریه M همین کار را برای فیزیکدانان بکند.»
هنوز در این زمینه در میان فیزیکدانان تردید وجود دارد و تا به حال اثبات دقیقی همانند قضیه گودل در فیزیک ارائه نشده است اما بسیاری بر این باوراند که ریاضیات و فیزیک با هم ارتباط تنگاتنگی دارند و وجود قضیه گودل در ریاضیات می‌تواند نشانه و دلیلی بر پایان‌ناپذیر بودن علم فیزیک باشد.

درباره نویسنده

سرویس فیزیک علمنا

دیدگاه شما چیست